Глава 4. Основы теории измерений.

4.4. Моменты функции распределения.

Функция распределения является универсальным способом описания случайной погрешности. Однако чтобы получить ФВ необходимы трудоемкие исследования и расчеты. Поэтому в метрологической практике часто используются характеристики распределения вероятности, называемые моментами.

Начальный момент К-го порядка результатов наблюдений определяется следующим выражением:

Первый начальный момент - математическое ожидание:

Центральный момент К-го порядка результатов наблюдений определяется по формуле:

В теории измерений важное значение имеет 2-ой центральный момент, называемый дисперсией результатов наблюдений, или дисперсией случайной погрешности:

Дисперсия случайной погрешности является характеристикой рассеяния результатов наблюдений относительно математического ожидания.

Дисперсия имеет размерность квадрата измеряемой физической величины, поэтому значительно чаще в метрологической практике пользуются средним квадратическим отклонением (СКО) результатов наблюдений, являющимся квадратным корнем из дисперсии:

Рис.4.11

Плотность вероятности результатов наблюдений при различных значениях СКО погрешности имеет следующий вид:

Чем больше тем более пологой и «расплывчатой» становится функция распределения. Характеристикой асимметрии функции распределения является третий центральный момент - Если ФР симметричная, то все нечетные центральные моменты равны «0» - Для удобства в метрологической практике вводят безразмерную характеристику асимметрии: - коэффициент асимметрии.

Если - ФР - симметричная, если то ее максимум находится в положительной области, если - в отрицательной (см. рис. 4.12.).

Рис.4.12

Для определения плосковершинности или островершинности плотности распределения вероятности случайной погрешности служит 4-й центральный момент Свойство плосковершинности описывают с помощью эксцесса - безразмерной характеристики, которая определяется следующим выражением: Число 3 вычитается из дроби потому, что наиболее распространенной в практике измерений функцией распределения плотности вероятности является распределение по нормальному закону или функция Гаусса.

Для нормального закона 4-й центральный момент Т.е. для нормального закона распределения Е_х=0. Для более плосковершинного закона распределения Е_х<0, для более островершинного - Е_х>0.

Моменты распределения используются для идентификации закона распределения результатов наблюдения или их случайной погрешности. В теории и практике наиболее часто встречаются и используются нормальное и равномерное распределение.

Рис.4.13

Назад

Содержание

Вперед