Глава 4. Основы теории измерений.
4.1. Погрешности результатов измерений.
ИЗМЕРЕНИЕ - есть нахождение значения ФВ опытным путем с помощью специальных технических средств.
Это определение техническое и не отражает физической сущности процесса измерения, поэтому Маликов, один из основоположников отечественной метрологии, предложил следующее понятие измерения:
Измерение - познавательный процесс, заключающийся в сравнении путем физического эксперимента данной физической величены с известной величиной, принятой за единицу.
В случае прямых измерений математически этот процесс описывается уравнением измерения:
Q=q [Q], где
q - числовое значение ФВ, [Q] - единица ФВ.
Техническими средствами, применяемыми при измерении, являются средства измерений (СИ) В общем случае при измерении происходит сравнение измеренной ФВ с единицей ФВ по шкале измерительного прибора.
Шкала измерительного прибора (ИП) представляет собой совокупность отметок и чисел, изображающих ряд последовательных значений измеряемой величины, кратных или дольных единицы ФВ, с указателем (стрелка, электронный луч). Отметки шкалы, у которых проставлены числовые значения, называются числовыми отметками шкалы.
С точки зрения информационной теории, измерение представляет собой процесс, направленный на уменьшение энтропии измеряемого объекта. Энтропия является мерой неопределенности наших знаний об объекте измерений.
В процессе измерения мы уменьшаем энтропию объекта, т.е. получаем дополнительную информацию об объекте.
Измерительной информацией - называется информация о значениях измеренных ФВ.
Поскольку применяемые при измерениях методы и технические средства не являются идеальными, а органы восприятия экспериментатора не могут идеально воспринимать показания приборов, то после завершения процесса измерения остается некоторая неопределенность в наших знаниях об объекте измерения, т.е. получить истинное значение ФВ невозможно.
Остаточная неопределенность наших знаний об измеряемом объекте может характеризоваться различными мерами неопределенности.
Такая мера неопределенности, как энтропия, наиболее широко распространена в теории информации. В метрологической практике энтропия используется крайне редко.
В теории измерений мерой неопределенности результата измерений является погрешность результата наблюдений.
Под погрешностью результата измерений или просто погрешностью измерений - понимается отклонение результата измерения от истинного значения измеряемой физической величины.
Записывается это следующим образом:
D=Хизм-Х , где
Х изм - результат измерения, Х - истинное значение ФВ.
Однако поскольку истинное значение ФВ остается неизвестным, то неизвестна и погрешность измерений. Поэтому на практике имеют дело с приближенными значениями погрешности или с так называемыми их оценками. В формулу для оценки погрешности подставляют вместо истинного значения ФВ её действительное значение. Под действительным значением ФВ понимается её значение, полученное опытным путем и настолько приближающиеся к истинному значению, что для данной цели может быть использовано вместо него.
Таким образом, формула для оценки погрешности следующая:
D = Хизм - Qд, где
Qд - действительное значение ФВ.
Как отмечалось выше, поскольку погрешность является мерой неопределенности, принятой в метрологии и технике вообще, то она также является мерой неопределенности знания значения ФВ.
Каковы же основные причины возникновения погрешности?
Можно выделить 4 основные группы погрешностей измерений:
- Погрешности, обусловленные методиками выполнения измерений (погрешность метода измерений).
- Погрешность средств измерений.
- Погрешность органов чувств наблюдателей (личные погрешности).
- Погрешности, обусловленные влиянием условий измерений.
Все эти погрешности дают суммарную погрешность измерения. Принято разделять суммарную погрешность измерений на две составляющие - случайную и систематическую погрешности измерений.
Случайная погрешность измерения - составляющая погрешности результатов измерений, изменяющаяся случайным образом (по знаку и значению) в повторных наблюдениях, проведенных с одинаковой тщательностью одной и той же детерминированной ФВ.
Систематическая погрешность измерения - составляющая погрешности результата измерений, остающаяся постоянной или же закономерно изменяющаяся при повторных наблюдениях одной и той же детерминированной ФВ.
Вообще говоря, в результатах измерений всегда присутствуют эти обе составляющие. Однако часто бывает так, что одна из них значительно превышает другую. В этих случаях меньшей составляющей пренебрегают. Например, при измерениях, проводимых с помощью линейки или рулетки, как правило, превалирует случайная составляющая погрешности, а систематическая мала, и ею пренебрегают. Случайная составляющая в этом случае объясняется следующими основными причинами:
- неточность (перекос) установки рулетки (линейки);
- неточность установки начала отсчета;
- изменение угла наблюдения;
- усталость глаза;
- изменение освещенности.
Систематическая погрешность возникает из-за несовершенства метода выполнения измерений, погрешностей СИ, неточного знания математической модели измерений, из-за влияния условий, погрешностей градуировки и поверки СИ, личных причин.
Поскольку случайные погрешности результатов измерений являются случайными величинами, в основе их обработки лежат методы теории вероятностей и математической статистики.
Случайная погрешность характеризует такое качество, как точность измерений, а систематическая - правильность измерений.
Различают погрешности абсолютные и относительные.
Абсолютная погрешность - погрешность, выраженная в единицах измеряемой величины. (Например, погрешность измерения массы в 5 кг - 0,005 г).
Относительная погрешность - это безразмерная величина, определяющаяся отношением абсолютной погрешности к действительному значению измеряемой ФВ, она может выражаться в процентах (%). Иногда берется отношение абсолютной погрешности к максимальному значению ФВ, которое может быть измерено данным СИ (верхний предел шкалы прибора). Это так называемая приведенная погрешность.
Абсолютная погрешность обозначается знаком 
относительная - 
Она определяется
следующим образом:
Поскольку 
(или очень мало
отличается от него), то на практике обычно принимается 
Кроме обычной погрешности измерений различают так называемую «грубую» погрешность измерений (промах), о которой было сказано выше.
Как уже отмечалось, в общем случае проявляются одновременно обе составляющие погрешности измерений - случайная и систематическая, поэтому
где 
- суммарная погрешность измерений; она может быть представлена в виде 
.
-
случайная составляющая погрешности измерения;
- систематическая составляющая погрешности измерения.
Погрешность является случайной функцией времени,
т.е. 
Эта функция, отличается от обычной функции, известной из математического
анализа тем, что нельзя сказать какое значение она может принять в некоторый
момент времени t. Графически это может быть условно
представлено следующим образом (рис.4.1.):
- погрешность измерения, соответствующая каждому значению времени 
.
Погрешность измерения, соответствующая каждому
значению времени , называется сечением
случайной функции 
. Она также называется
погрешностью наблюдения измеряемой ФВ в момент времени .
Систематическая погрешность определяет общую тенденцию изменения погрешности измерения во времени.
Предположим, что:
, при j= 1, m,
т.е. систематическую погрешность удалось полностью исключить из результатов
измерений.
2. Случайная погрешность в каждом сечении не
зависит друг от друга, т.е. знание случайной погрешности в одном сечении не
дает никакой информации о погрешности в другом сечении. Тогда случайная
погрешность может рассматриваться как случайная величина, а сами результаты
наблюдения ФВ в каждый момент времени являются независимыми, случайными величинами. В
этих условиях случайная погрешность наблюдения определяется как разность между исправленным
результатом наблюдения Х и истинным значением измеряемой величины - 
.
«Исправленный результат» наблюдений - это наблюдение, из которого исключена систематическая погрешность. Наблюдение - это совокупность операций при измерении, имеющих своей целью своевременно и правильно произвести отсчет. С другой стороны, наблюдение - это экспериментальная операция, выполняемая в процессе измерений, в результате которой получают одно значение из группы значений величины, подлежащих обработке для получения результата измерений. Так, например, если по 3-м или 5-ти наблюдениям получают одно измерение, можно считать, что результат наблюдений дает один результат измерения, а результат измерения - значение измеряемой ФВ, найденное путем обработки результатов наблюдений.
Как правило, для уменьшения случайной погрешности и исключения промахов, измерения проводят с многократными наблюдениями. Обработка результатов наблюдений проводится методами математической статистики по правилам, действующим в отношении случайных величин.